Можно ли использовать теорему Пифагора для любого треугольника?

Узнайте, можно ли применять теорему Пифагора для любого треугольника. История и применение теоремы Пифагора в геометрии. Обратная теорема Пифагора и особые треугольники.

Теорема Пифагора — одна из основополагающих теорем евклидовой геометрии, устанавливающая соотношение между сторонами прямоугольного треугольника: сумма квадратов длин катетов равна квадрату длины гипотенузы.

Соотношение в том или ином виде предположительно было известно различным древним цивилизациям задолго до нашей эры; первое строгое доказательство приписывается античному философу Пифагору. Утверждение появляется как Предложение 47 в «Началах» Евклида.

История

По мнению историка математики Морица Кантора, в Древнем Египте уже во времена царя Аменемхета I (около XXIII века до н. э.) было известно о прямоугольном треугольнике со сторонами 3, 4, 5 — его использовали гарпедонапты — «натягиватели верёвок».

В древневавилонском тексте, относимом ко временам Хаммурапи (XX век до н. э.), приведено приближённое вычисление гипотенузы. По мнению Ван-дер-Вардена, обобщение соотношения в общем виде было известно уже в Вавилоне около XVIII века до н. э.

В древнекитайской книге «Чжоу би суань цзин», относимой к периоду V—III веков до н. э., приводится треугольник со сторонами 3, 4 и 5, притом изображение можно трактовать как графическое обоснование соотношения теоремы. В китайском сборнике задач «Математика в девяти книгах» (X—II веков до н. э.) применению теоремы посвящена отдельная книга.

Общепринято, что доказательство соотношения дано древнегреческим философом Пифагором (570—490 до н. э.). Имеется свидетельство Прокла (412—485 н. э.), что Пифагор использовал алгебраические методы, чтобы находить пифагоровы тройки, но при этом в течение пяти веков после смерти Пифагора прямых упоминаний о доказательстве его авторства не находится. Однако когда Плутарх и Цицерон пишут о теореме Пифагора, из содержания следует, будто авторство Пифагора общеизвестно и несомненно. Существует предание, сообщённое Диогеном Лаэртским, согласно которому Пифагор якобы отпраздновал открытие своей теоремы гигантским пиром, заклав на радостях сотню быков.

Теорема Пифагора

Прямоугольный треугольник — треугольник, у которого один угол равен 90°. Сторона, лежащая против такого угла, называется гипотенузой (c), а две другие стороны — катетами (a и b).

Теорема Пифагора утверждает, что в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов: \(a^2 + b^2 = c^2\).

Обратная теорема Пифагора

Если для сторон произвольного треугольника соблюдается условие \(a^2 + b^2 = c^2\), то такой треугольник является прямоугольным.

Таким образом, обратная теорема Пифагора утверждает, что если квадрат одной из сторон треугольника равен сумме квадратов двух других сторон, то угол, лежащий против этой стороны, является прямым.

Пифагоровы тройки и особые треугольники

При работе с прямоугольным треугольником можно использовать интересный лайфхак. Используя теорему Пифагора, можно вывести некоторые отношения сторон. Существует бесконечное количество Пифагоровых троек, например: 3:4:5, 5:12:13, 7:24:25, 8:15:17, 9:40:41, 12:35:37, 20:21:49.

Пифагоровы тройки могут называться отношениями, потому что не обязательно, чтобы стороны прямоугольного треугольника были равны числам тройки. Достаточно, чтобы его стороны имели такое же отношение. Например, стороны прямоугольного треугольника могут быть равны именно 5, 12, 13 или 7, 24, 25, как числа Пифагоровой тройки, а могут быть в кратное количество раз больше, то есть такие стороны будут сохранять её отношение: 3:4:5 (×3) = 9:12:15 – тоже Пифагорова тройка или 7:24:25 (×2) = 14:28:50.

Также можно выделить особые треугольники, в которых отношение сторон остаётся неизменным. Например: треугольник с углами 30°, 60°, 90°, где катет, лежащий против 30°, равен половине гипотенузы, а второй катет можно посчитать по теореме Пифагора; треугольник с углами 45°, 45°, 90°, где оба катета равны, а гипотенузу можно также посчитать по теореме Пифагора.

Таким образом, теорема Пифагора является одной из фундаментальных теорем геометрии и находит широкое применение в различных областях науки и практики.

Что нам скажет Википедия?

Существует ряд обобщений данной теоремы — для произвольных треугольников, для фигур в пространствах высших размерностей. В неевклидовых геометриях теорема не выполняется.

Обратная теорема Пифагора — утверждение о прямоугольности всякого треугольника, длины сторон которого связаны соотношением a^2 + b^2 = c^2. Как следствие, для всякой тройки положительных чисел a, b и c, такой, что a^2 + b^2 = c^2, существует прямоугольный треугольник с катетами a и b и гипотенузой c. Предложение, обратное теореме Пифагора, сформулированное в условной форме: «Если квадрат одной из сторон треугольника равен сумме квадратов двух других сторон, то угол, лежащий против этой стороны, является прямым». Это же предложение в категоричной форме: «Угол треугольника, лежащий против стороны, квадрат которой равен сумме квадратов двух других сторон, прямой». Именно данное корректное предложение, обратное теореме Пифагора, является также теоремой.