Как Архимед открыл свой закон?

История открытия закона Архимеда, который объясняет выталкивающую силу воды, плавучесть тела в жидкости и его роль в развитии гидростатики и аэростатики.

Знаменитая легенда о том, как нагой Архимед бежал по улице и кричал «Эврика!» («нашел!»), как раз повествует об открытии им того, что выталкивающая сила воды равна по модулю весу вытесненной им воды, объем которой равен объему погруженного в нее тела. Это открытие названо законом Архимеда.

Корона из золота

В III веке до нашей эры царь древнегреческого города Сиракузы попросил проверить ученого Архимеда, из чистого ли золота сделал мастер ему корону. Проблема здесь вот в чем. Когда царь заказывал корону, он дал мастеру определенную массу золота. Когда мастер вернул золото в виде короны, то оно весило столько, сколько и масса данного золота. Но ведь мастер мог схитрить.

Если взять из общей массы золота немного золота и положить туда равную взятой массе золота массу серебра (которое дешевле), то никто и не заметит. Ведь на глаз не отличишь, а масса такая, какая и должна быть.

Как известно, масса тела равна произведению плотности вещества, из которого сделано тело, на его объем: m = ρV. Если у разных тел одинаковая масса, но они сделаны из разных веществ, то значит у них будет разный объем. Если бы мастер вернул царю не ювелирно сделанную корону, объем которой определить невозможно из-за ее сложности, а такой же по форме кусок металла, который дал ему царь, то сразу было бы ясно, подмешал он туда другого металла или нет. Просто при равной массе отличались бы объемы кусков. Но как определить объем короны? По-сути именно эта задача стояла перед Архимедом.

И вот принимая ванну, Архимед обратил внимание, что вода из нее выливается. Он заподозрил, что выливается она именно в том объеме, какой объем занимают его части тела, погруженные в воду. И Архимеда осенило, что объем короны можно определить по объему вытесненной ей воды. Ну а коли можно измерить объем короны, то его можно сравнить с объемом куска золота, равного по массе. Если объемы окажутся равными, то значит ювелирный мастер честно выполнил свою работу. Архимед выскочил из ванной и побежал проверять свое открытие.

Архимед погрузил в воду корону и измерил, как увеличился объем воды. (Хотя на самом деле Архимед мог измерять потерю веса при погружении тела в воду. Потеря веса равна весу вытесненной воды. А вес воды зависит от вытесненного объема. В свою очередь вытесненный объем воды равен объему погруженного в воду тела.) Также он погрузил в воду кусок золота, у которого масса была такая же как у короны. И тут он измерил, как увеличился объем воды. Объемы вытесненной в двух случаях воды оказались равными, и Архимед воскликнул: «Эврика!» («Нашел!»)

Закон Архимеда

Закон Архимеда, также называемый законом гидростатики и аэростатики, гласит, что на тело, погруженное в жидкость или газ, действует выталкивающая сила, численно равная весу объема вытесненной жидкости или газа. Этот закон был открыт Архимедом в III веке до нашей эры.

Выталкивающая сила, или архимедова сила, по направлению противоположна силе тяжести и прикладывается к центру тяжести объема, вытесняемого телом из жидкости или газа.

Если тело плавает или равномерно движется вверх или вниз, то выталкивающая сила по модулю равна силе тяжести, действующей на вытесненный телом объем жидкости или газа.

Закон Архимеда можно объяснить при помощи разности гидростатических давлений на примере прямоугольного тела, погруженного в жидкость или газ. В силу симметрии прямоугольного тела, силы давления, действующие на боковые грани тела, уравновешиваются. Давление и сила давления, действующие на верхнюю грань тела, равны. Давление и сила давления, действующие на нижнюю грань тела, равны. Сила давления жидкости или газа на тело определяется разностью сил.

Такой принцип выталкивания объясняет плавучесть тела в жидкости. Если средняя плотность тела меньше плотности жидкости, в которую оно погружено, то тело будет плавать. В противном случае, если плотность тела больше плотности жидкости, оно будет тонуть.

Закон Архимеда также применим в поле сил инерции или в неоднородных полях. Например, при центрифугировании или воздействии магнитного поля.

Заключение

Таким образом, Архимед открыл свой закон, и это открытие сыграло значительную роль в развитии гидростатики и аэростатики. Закон Архимеда объясняет принцип плавучести и позволяет определять объемы тел и веществ. Этот закон остается актуальным и находит применение в различных областях науки и техники.

Что нам скажет Википедия?

Зако́н Архиме́да — закон гидростатики и аэростатики: на тело, погружённое в жидкость или газ, действует выталкивающая сила, численно равная весу объёма жидкости или газа, вытесненного телом. Закон открыт Архимедом в III веке до н. э. Выталкивающая сила также называется архимедовой силой или гидростатической подъёмной силой (её не следует путать с аэро- и гидродинамической подъёмной силой, возникающей при обтекании тела потоком газа или жидкости).

Так как сила Архимеда обусловлена силой тяжести, то в невесомости она не действует.

В соответствии с законом Архимеда для выталкивающей силы выполняется:

Выталкивающая или подъёмная сила по направлению противоположна силе тяжести, прикладывается к центру тяжести объёма, вытесняемого телом из жидкости или газа.

Если тело плавает (см. плавание тел) или равномерно движется вверх или вниз, то выталкивающая или подъёмная сила по модулю равна силе тяжести, действующей на вытесненный телом объём жидкости или газа.

Например, воздушный шарик объёмом V, наполненный гелием, летит вверх из-за того, что плотность гелия (ρHe) меньше плотности воздуха (ρair):

Закон Архимеда можно объяснить при помощи разности гидростатических давлений на примере прямоугольного тела, погруженного в жидкость или газ. В силу симметрии прямоугольного тела, силы давления, действующие на боковые грани тела, уравновешиваются. Давление (PA) и сила давления (FA), действующие на верхнюю грань тела, равны:

Давление (PB) и сила давления (FB), действующие на нижнюю грань тела, равны:

Сила давления жидкости или газа на тело определяется разностью сил FB и FA:

Разница давлений:

В отсутствие гравитационного поля, то есть в состоянии невесомости, закон Архимеда не работает. Космонавты с этим явлением знакомы достаточно хорошо. В частности, в невесомости отсутствует явление (естественной) конвекции, поэтому, например, воздушное охлаждение и вентиляцию жилых отсеков космических аппаратов необходимо производить принудительно вентиляторами.

Некий аналог закона Архимеда справедлив также в любом поле сил, которое по-разному действуют на тело и на жидкость (газ), либо в неоднородном поле. Например, это относится к полю сил инерции (например, к полю центробежной силы) — на этом основано центрифугирование. Пример для поля немеханической природы: диамагнетик в вакууме вытесняется из области магнитного поля большей интенсивности в область с меньшей.

Вывод закона Архимеда для тела произвольной формы

Вывод через мысленный эксперимент

Если мысленно заменить погружённое в жидкость тело той же жидкостью, мысленно размещённая в том же объёме порция воды будет находиться в равновесии и действовать на окружающую воду с силой, равной силе тяжести, действующей на порцию воды. Так как перемешивания частиц воды не происходит, можно утверждать, что окружающая вода действует на выделенный объём с той же силой, но направленной в противоположном направлении, то есть с силой, равной mg = ρgV.

Расчёт силы

Гидростатическое давление p на глубине h, оказываемое жидкостью с плотностью ρ на тело, есть p = ρgh. Пусть плотность жидкости (ρ) и напряжённость гравитационного поля (g) — постоянные величины, а h — параметр. Возьмём тело произвольной формы, имеющее ненулевой объём. Введём правую ортонормированную систему координат Oxyz, причём выберем направление оси z совпадающим с направлением вектора g. Ноль по оси z установим на поверхности жидкости. Выделим на поверхности тела элементарную площадку dS. На неё будет действовать сила давления жидкости, направленная внутрь тела, dFA = −pdS. Чтобы получить силу, которая будет действовать на тело, возьмём интеграл по поверхности:

При переходе от интеграла по поверхности к интегралу по объёму пользуемся обобщённой теоремой Остроградского-Гаусса.

Получаем, что модуль силы Архимеда равен ρgV, и направлена сила Архимеда в сторону, противоположную направлению вектора напряжённости гравитационного поля.

Вывод через закон сохранения энергии

Закон Архимеда можно также вывести из закона сохранения энергии. Работа силы, действующей со стороны погружённого тела на жидкость, приводит к изменению её потенциальной энергии:

где mж — масса вытесненной части жидкости, Δh — перемещение её центра масс. Отсюда модуль вытесняющей силы:

По третьему закону Ньютона эта сила, равна по модулю и противоположна по направлению силе Архимеда, действующей со стороны жидкости на тело. Объём вытесненной жидкости равен объёму погруженной части тела, поэтому массу вытесненной жидкости можно записать как:

Таким образом, для силы Архимеда имеем:

Условие плавания тел

Поведение тела, находящегося в жидкости или газе, зависит от соотношения между модулями силы тяжести FT и силы Архимеда FA, которые действуют на это тело. Возможны следующие три случая:

Другая формулировка (где ρt — плотность тела, ρs — плотность среды, в которую тело погружено):