Теорема Пифагора является одной из основополагающих теорем евклидовой геометрии. Установленная и доказанная Пифагором, она оказывает влияние на различные области науки и техники. Узнайте о том, какую теорему придумал Пифагор и как она использовалась задолго до его времени. Читайте статью на сайте "История и мир".
Cодержание
Пифагор Самосский (около 570—490 годов до н.э.) был древнегреческим философом, математиком, теоретиком музыки и создателем религиозно-философской школы пифагорейцев. Школа Пифагора, сравниваемая с христианскими монастырями и масонскими ложами, оказывала влияние на политические структуры того времени.
Пифагор проповедовал метемпсихоз, вегетарианство, гармонию сфер и другие учения. Школа пифагорейцев вызывала недовольство определенных кругов, что привело к заговору Килона против пифагорейцев. После смерти Пифагора и разгрома школы в Кротоне, пифагореисты продолжали свою деятельность в других городах античного мира. Пифагор не оставил собственных сочинений, и точная реконструкция его учения затруднительна.
История теоремы Пифагора
Теорема Пифагора является одной из основополагающих теорем евклидовой геометрии. Она устанавливает соотношение между сторонами прямоугольного треугольника: сумма квадратов длин катетов равна квадрату длины гипотенузы.
Считается, что данную теорему впервые сформулировал и доказал Пифагор. Соотношение, связывающее стороны прямоугольного треугольника, носит его имя. Хотя точное доказательство Пифагором не оставлено, из содержания работ Платона, Плутарха и Цицерона следует, что авторство Пифагора было общеизвестным и несомненным.
Предположительно, данное соотношение было известно и другим древним цивилизациям задолго до нашей эры. Также существует предание, согласно которому Пифагор отпраздновал открытие своей теоремы гигантским пиром, заклав на радостях сотню быков.
В «Началах» Евклида, появившихся около 300 года до н.э., приведено старейшее аксиоматическое доказательство теоремы Пифагора. Также на примере глиняной таблички из древнего Вавилона можно сделать вывод, что теорема Пифагора была применена в математических вычислениях задолго до рождения Пифагора.
Геометрическое доказательство теоремы Пифагора
Наиболее элегантное и очевидное геометрическое доказательство теоремы Пифагора представляет собой сравнение площадей квадратов, построенных на сторонах прямоугольного треугольника.
Рассмотрим два одинаковых квадрата, левый и правый. Из рисунка видно, что площади закрашенных фигур в каждом квадрате равны, так как в каждом из них закрашено по 4 одинаковых прямоугольных треугольника. Следовательно, и незакрашенные площади слева и справа равны.
Обозначим длины катетов прямоугольного треугольника как a и b, а длину гипотенузы как c. Тогда площадь незакрашенной фигуры слева равна a^2, а площадь незакрашенной фигуры справа равна b^2. Таким образом, получаем следующее соотношение:
a^2 + b^2 = c^2
Таким образом, геометрическое доказательство теоремы Пифагора основывается на равенстве площадей квадратов, построенных на сторонах прямоугольного треугольника.
См. также
Обобщения теоремы Пифагора
Теорема Пифагора имеет ряд обобщений, применимых к различным типам треугольников и фигур в пространствах высших размерностей. Однако в неевклидовых геометриях данная теорема не выполняется.
В научной литературе зафиксировано более 400 доказательств теоремы Пифагора. Это объясняется как фундаментальным значением данной теоремы для геометрии, так и ее элементарностью.
Суммируя вышеизложенное, можно сказать, что теорема Пифагора, установленная и доказанная Пифагором, является одной из великих достижений древней математики. Ее значимость простирается на много веков и оказывает влияние на различные области науки и техники.
Что нам скажет Википедия?
Теорема Пифагора — одна из основополагающих теорем евклидовой геометрии, устанавливающая соотношение между сторонами прямоугольного треугольника: сумма квадратов длин катетов равна квадрату длины гипотенузы.
Соотношение в том или ином виде предположительно было известно различным древним цивилизациям задолго до нашей эры; первое строгое доказательство приписывается античному философу Пифагору. Утверждение появляется как Предложение 47 в «Началах» Евклида.
Также может быть выражена как геометрический факт о том, что площадь квадрата, построенного на гипотенузе, равна сумме площадей квадратов, построенных на катетах. Верно и обратное утверждение: треугольник, у которого сумма квадратов длин двух сторон равна квадрату длины третьей стороны, является прямоугольным.
Существует ряд обобщений данной теоремы — для произвольных треугольников, для фигур в пространствах высших размерностей. В неевклидовых геометриях теорема не выполняется.
Общепринято, что доказательство соотношения дано древнегреческим философом Пифагором (570—490 до н.э.). Имеется свидетельство Прокла (412—485 н.э.), что Пифагор использовал алгебраические методы, чтобы находить пифагоровы тройки, но при этом в течение пяти веков после смерти Пифагора прямых упоминаний о доказательстве его авторства не находится. Однако когда Плутарх и Цицерон пишут о теореме Пифагора, из содержания следует, будто авторство Пифагора общеизвестно и несомненно. Существует предание, сообщённое Диогеном Лаэртским, согласно которому Пифагор якобы отпраздновал открытие своей теоремы гигантским пиром, заклав на радостях сотню быков.
Приблизительно в 400 году до н.э., согласно Проклу, Платон дал метод нахождения пифагоровых троек, сочетающий алгебру и геометрию. Около 300 года до н.э. в «Началах» Евклида появилось старейшее аксиоматическое доказательство теоремы Пифагора.
Основная формулировка содержит алгебраические действия — в прямоугольном треугольнике, длины катетов которого равны a и b, а длина гипотенузы — c, выполнено соотношение a² + b² = c².
Возможна и эквивалентная геометрическая формулировка, прибегающая к понятию площади фигуры: в прямоугольном треугольнике площадь квадрата, построенного на гипотенузе, равна сумме площадей квадратов, построенных на катетах.
В научной литературе зафиксировано не менее 400 доказательств теоремы Пифагора, что объясняется как фундаментальным значением для геометрии, так и элементарностью результата. Основные направления доказательств: алгебраическое использование соотношений элементов треугольника, метод площадей, существуют также различные экзотические доказательства (например, с помощью дифференциальных уравнений).
